線性代數：矩陣運算、特徵值與對角化

📝 歷屆考古題

• 114年 調查局三等申論題 第一題
  (一)請算出 A的簡化列階梯形式（reduced row echelon form）。（5 分）
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• 114年 調查局三等申論題 第二題
  (二)請算出 A之所有特性值（eigen-values）。（6 分）
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• 114年 調查局三等申論題 第三題
  (三)針對每一個特性值，請找出對應之特性向量（eigen-vectors）。（9 分）
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• 114年 調查局三等申論題 第四題
  (四)A是一個可對角化（diagonalizable）的矩陣嗎？（4 分）
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• 114年 調查局三等申論題 第五題
  (五)有一個列向量（row vector）y，已知它合乎這個方程式所描述的條件：y \cdot A = [3 \quad 2 \quad -1]。請問， y =？（6 分）
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• 113年 調查局三等申論題 第一題
  求 A 的所有特徵值（eigenvalues）。（6 分）
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• 113年 調查局三等申論題 第二題
  求矩陣 P 與 D，使得 D = P⁻¹AP 為一對角矩陣（diagonal matrix）。（8 分）
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• 113年 調查局三等申論題 第二題
  設 A = \begin{bmatrix} 1 & -4 \ 1 & 5 \end{bmatrix}，求 e^{At}。（15 分）
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• 113年 調查局三等申論題 第三題
  求 A⁴ + 3A³ - A² - 5A + 2I，其中 I 為 3×3 單位矩陣。（6 分）
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• 112年 調查局三等申論題 第一題
  (一)求 A 的行列式值（determinant）。（5 分）
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• 112年 調查局三等申論題 第二題
  (二)求 A 所有特徵值（eigenvalues）及其對應之特徵向量（eigenvectors）。（15 分）
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• 112年 調查局三等申論題 第三題
  (三)求 A 的零空間（null space）。（5 分）
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• 112年 調查局三等申論題 第五題
  五、空間 A 以 $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix} \right\}$…
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• 111年 調查局三等申論題 第一題
  我們以A⁻¹來代表A的反矩陣（inverse matrix），那麼 A⁻¹ =？（5 分）
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• 111年 調查局三等申論題 第二題
  我們以det（A）來代表A的行列式（determinant），那麼det（A） =？（5 分）
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• 111年 調查局三等申論題 第三題
  請證明A為不可對角化（not diagonalizable）。（10 分）
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• 110年 調查局三等申論題 第一題
  求 A 的行列式值（determinant of A）。（5 分）
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• 110年 調查局三等申論題 第二題
  求 A 的反矩陣 A^{-1}（inverse of A）。（10 分）
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• 110年 調查局三等申論題 第二題
  二、設 A = \begin{bmatrix} $\frac{\sqrt{3}}{3}$& -$\frac{1}{3} \ \frac{1}{3}$& $\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$…
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• 110年 調查局三等申論題 第三題
  求解 (x_1, x_2, x_3)。（10 分）
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• 109年 調查局三等申論題 第一題
  求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。（8分）
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• 109年 調查局三等申論題 第二題
  針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱 eigenvectors）。（10分）
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• 109年 調查局三等申論題 第三題
  考慮如下所示過度求定（over-determined）的線性聯立方程組： \begin{cases} 3x + 2y = 1 \ 2x - y = 5 \ x + 4y = -2 \end{cases…
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• 108年 調查局三等申論題 第二題
  二、求取下列矩陣之反矩陣。（20 分） $$ A = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 2 \ 6 & 3 & -3 \ 2 & 9 & -5 \end{bmatrix} $$
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• 107年 調查局三等申論題 第一題
  求 A 之特徵值（eigenvalues）與相對應之特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
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• 107年 調查局三等申論題 第二題
  求矩陣 P 以滿足 P⁻¹AP 為對角矩陣（diagonal matrix）。（5 分）
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• 107年 調查局三等申論題 第三題
  求 A¹⁸。（5 分）
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• 106年 調查局三等申論題 第一題
  求T之逆轉換（inverse of T）：T^{-1}(x_1, x_2, x_3)。（15 分）
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• 106年 調查局三等申論題 第二題
  求T^{-1}(1, 1, 0)。（5 分）
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• 105年 調查局三等申論題 第二題
  二、有一矩陣 A，已知其特徵值（eigenvalue）為 3 時，對應之特徵向量（eigenvector）為 [1, 1]^T，而特徵值是–2 時，對應之特徵向量為 [2, 1]^T，試計算 A^2…
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